Вроде бы все правильно
package com.javarush.task.task04.task0421;
/*
Настя или Настя?
*/
import java.io.*;
public class Solution {
public static void main(String[] args) throws Exception {
BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String a = reader.readLine();
String b = reader.readLine();
if (a==b)
System.out.println("Имена идентичны");
if (a!=b && a.length()==b.length() )
System.out.println("Длины имен равны");
}
}