Задача изначально выдаёт какую то извиняюсь за выражение хрень. Я так понял нужно её наладить, а потом уже отработать по остальному условию?
public class Solution {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

        String motherName = reader.readLine();
        Cat catMother = new Cat(motherName);

        String daughterName = reader.readLine();
        Cat catDaughter = new Cat(daughterName, catMother);

        System.out.println(catMother);
        System.out.println(catDaughter);
    }

    public static class Cat {
        private String name;
        private Cat parent;

        Cat(String name) {
            this.name = name;

        }

        Cat(String name, Cat parent) {
            this.name = name;
            this.parent = parent;
        }

        @Override
        public String toString() {
            if (parent == null)
                return "The cat's name is " + name + ", no mother ";
            else
                return "The cat's name is " + name + ", mother is " + parent.name;
        }
    }

}