Откуда метод берет значения переменных??

При создании пушистых ты подаешь в конструктор параметры котов

Cat cat1 = new Cat("Mouse",1,2,3);

В этом примере имя - Mouse, возраст 1 и т.д. И получаешь объект cat1 с соответствующими параметрами. Эти параметры и участвуют в определении победителя.

Да, только в скобках будет другой объект и, соответственно, у него будут другие параметры. И вот так по параметрам будет определено, кто сильнее.

Параметр anotherCat передается при вызове метода:

public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        ...
        System.out.println(cat1.fight(cat2));
        ...
    }

в данном случае anotherCat примет значение cat2. А this будет cat1.

Именно так. В метод передается объект типа Cat, в котором уже содержатся значения переменных имя, возраст, вес и сила. Которые туда заносятся посредством конструктора. Вы все правильно поняли.