Первая задача. метод toString() не используем.
public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        String string = "Учиться, учиться и еще раз учиться! ";
        System.out.println(addTo(string, new String[]{"Под ", "лежачий ", "камень ", "вода ", "не ", "течет"}));
    public static StringBuilder addTo(String string, String[] strings) {
        StringBuilder newString = new StringBuilder(string);
        for (int i = 0; i < strings.length; i++) {
            newString.append(strings[i]);
        }
        return newString;
     }
Вторая задача метод toString() уже нужно использовать
public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        String string = "Ходит кот задом наперед";
        System.out.println(string);
        System.out.println(reverseString(string));
    }
    public static String reverseString(String string) {
        StringBuilder s = new StringBuilder(string);
        s.reverse();//напишите тут ваш код
        return s.toString();
    }
}